※昭和25年9月22日公布・施行の狂犬病予防法施行に関するコンテンツの目次はこちらのページをご覧ください

　（所有者の変更）
第九条　犬の所有者がかわつたときは、新所有者は、新旧の所有者の住所及び氏名又は名称並びに犬の新旧の所在地を書き、犬の新所在地の市町村長を経て三十日以内に都道府県知事に届け出なければならない。
２　前項の場合には、第七条第二項及び第三項の規定を準用する。

（引用元）
官報 1950年09月22日　第7111号 313,314,315。
国立国会図書館デジタルコレクションでPDF化された２ページ。
１ページ目から２ページ目へのリンクがあります。
https://dl.ndl.go.jp/pid/2963657/1/1
https://dl.ndl.go.jp/pid/2963657/1/2

これも難しいことはないですね。

飼い主が変わったら、新しい飼い主が、新旧の飼い主の住所・氏名、犬の新旧の所在地を書いて、新所在地で届出る。

旧飼い主は手続きの必要はないみたいです。

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２　前項の場合には、第七条第二項及び第三項の規定を準用する。
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「これは何のことだろう」とおもうと思いますが、この狂犬病予防法施行規則の第七条（犬の所在地の変更）のことです。
このリンクから読んでみてください。

都道府県が変わったら、鑑札を交換したり、役所の方では原簿を旧所在地から新所在地の役所に送ることになります。

原簿については上記リンク先を見ていただければ分かりますが、犬の所在地の変更にも対応できます。

犬の登録は狂犬病予防法（登録）第四条で「犬の所在地」となっています。

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